Question

（2012•红桥区一模）已知函数f（x）=sinωxcosωx+sin²ωx的最小正周期为π，
（Ⅰ）求f(

π

4

)的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值及相应的x值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角三角函数公式和辅助角公式化简，得到f（x）=

2

2

sin（2ωx-

π

4

）+

1

2

．再由三角函数的周期公式求出ω，然后求解f(

π

4

)的值．
（II）利用正弦函数的单调区间公式，即可得到单调递增区间；
（Ⅲ）若x∈[0，

π

2

]时，求出相位的范围，结合正弦函数的图象与性质，即可得到函数f（x）在上的最大值以及相应的x值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，得
函数f（x）=sinωxcosωx+sin²ωx=

1

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=

2

2

sin（2ωx-

π

4

）+

1

2

，
函数f（x）的最小正周期为π，

2π

2ω

=π，ω=1
f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

．
f(

π

4

)=

2

2

sin（2×

π

4

-

π

4

）+

1

2

=1．
（II）∵由-

π

2

 +2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得-

π

8

 +kπ≤x≤

3π

8

+kπ，k∈Z
∴函数f（x）的单调递增区间：[-

π

8

 +kπ，

3π

8

+kπ]，k∈Z．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

．
由x∈[0，

π

2

]，得-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

∴当2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

时，函数f（x）有最大值是

1

2

+

2

2

．

点评：本题给出三角函数表达式，求函数的周期与单调区间，并求闭区间上的最值．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．