题目内容

已知函数f（x）=x3+ax2+x+1（a∈R）
（1）若f（x）是R上的单调函数，求a的取值范围；   
（2）若x=1是f（x）的一个极值点，求f（x）在x∈[t，1]（t＜1）上的最小值．
分析：（1）先求导函数，然后根据f（x）是R上的单调函数，则f'（x）≥0恒成立，然后利用判别式建立不等关系，解之即可；
（2）根据x=1是f（x）的一个极值点则f'（1）=0求出a的值，然后利用导数研究该函数的单调性，讨论t的范围，从而求出函数的最小值．
解答：解：（1）f'（x）=3x2+2ax+1，
∵f（x）是R上的单调函数
∴f'（x）≥0恒成立即△=4a2-12≤0
解得-
3
≤a≤
3

（2）∵x=1是f（x）的一个极值点
∴f'（1）=4+2a=0即a=-2
∴f'（x）=3x2-4x+1=（3x-1）（x-1）＞0
解得x＜
1
3
或x＞1
f'（x）＜0解得
1
3
＜x＜1
故f（x）在（-∞，
1
3
）上递增，在（
1
3
，1）上递减，（1，+∞）上递增
又f（0）=f（1）=1
∴f（x）min=
f(1)=1        ，0≤t＜1
f(t)=t3-2t2+t+1，t＜0
点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了转化的思想和数形结合的思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网