Question

已知方程（2x²-2ax+1）（2x²-2bx+1=0）的四个根组成一个首项为

1

4

的等比数列，则a-b=（　　）

• A、1
• B、

  3

  4

• C、

  1

  2

• D、

  3

  8

Answer 1

分析：由一元二次方程根与系数的关系和等比数列性质，四个根组成的首项为

1

4

的等比数列，且首项与末项的积等于第二项与第三项的积等于2，从而确定数列的每一项，再由两根之和分别为a、b，即可求出结果．

解答：解：∵方程（2x²-2ax+1）（2x²-2bx+1=0）
等价于2x²-2ax+1=0 ①或2x²-2bx+1=0 ②
设方程①两根为x₁，x₄，方程②两根为x₂，x₃，
由韦达定理可得x₁x₄=

1

2

，x₁+x₄=a  x₂x₃=

1

2

，x₂+x₃=b
又方程（2x²-2ax+1）（2x²-2bx+1=0）的四个根组成一个首项为

1

4

的等比数列，
∴x₁，x₂，x₃，x₄分别为这个数列的前四项，且x₁=

1

4

，x₄=

1 2

1 4

=2，
∴数列的公比为2，∴x₂=

1

2

，x₃=1，
∴a=x₁+x₄=

9

4

，b=x₂+x₃=

3

2

，故a-b=

9

4

-

3

2

=

3

4

，
故选B

点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系和等比数列的性质，解题时要认真观察，熟练运用性质，属中档题．