Question

已知二元二次方程2x²+（m-n）xy+（3-n）y²+（4m+3n）x+（7m-2n）y+k=0，
（1）当本方程为圆的方程时，求出m、n的值，和k的取值范围；
（2）当本方程为圆的方程时，判断并证明圆与直线l：2x-2y+1=0的关系．

Answer 1

分析：（1）由二元二次方程表示圆，得到x²与y²的系数相等，且xy项系数为0，求出m与n的值，把m与n的值代入并把方程配方后得到

37

8

-

k

2

大于0，即可求出m与n的值，及k的取值范围；
（2）由第一问配方得到的圆的标准方程，找出圆心的坐标，发现圆心在直线l上，故直线l与圆的位置是相交．

解答：解：（1）当本方程为圆的方程时，有3-n=2，且m-n=0，
解得：m=n=1，
原方程化为2x²+2y²+7x+5y+k=0，
即（x+

7

4

）²+（y+

5

4

）²=

37

8

-

k

2

，
∴

37

8

-

k

2

＞0，
解得：k＜

37

4

，
则m=n=1，k的取值范围是k＜

37

4

；
（2）当本方程为圆的方程时，
∴圆心坐标为（-

7

4

，-

5

4

），又直线l：2x-2y+1=0，
∴圆心在直线l上，
则直线l与圆的位置关系是相交．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，二元二次方程构成圆的条件，以及圆的标准方程，熟练掌握二元二次方程构成圆的条件是解本题的关键．