Question

已知数列{a_n}中，a_n∈（0，

1

2

），a_n=

3

8

+

1

2

•a_n-1²，其中n≥2，n∈N^*，求证：对一切自然数n都有a_n＜a_n+1成立．

Answer 1

分析：由题设条件可知，a_n+1-a_n=

1

2

（a_n-1）²-

1

8

．由0＜a_n＜

1

2

，∴-1＜a_n-1＜-

1

2

能够导出

1

2

（a_n-1）²-

1

8

＞0．由此可知a_n+1-a_n＞0，即a_n＜a_n+1对一切自然数n都成立．

解答：证明：a_n+1-a_n=

3

8

+

1

2

a_n²-a_n=

1

2

（a_n-1）²-

1

8

．
∵0＜a_n＜

1

2

，∴-1＜a_n-1＜-

1

2

．
∴

1

8

＜

1

2

（a_n-1）²＜

1

2

．
∴

1

2

（a_n-1）²-

1

8

＞0．
∴a_n+1-a_n＞0，即a_n＜a_n+1对一切自然数n都成立．

点评：本题考查不等式的解法和数列的知识，解题时要注意培养计算能力．