Question

已知A、B、C是△ABC的三个内角，．
（1）若△ABC是正三角形，求y的值；
（2）若任意交换△ABC中两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论；
（3）若△ABC中有一内角为45°，求y的最小值．

Answer 1

解：（1）若△ABC是正三角形，则A=B=C=，
=+=．
（2）∵=
==
=．
∴若任意交换△ABC中两个角的位置，则y的值不会发生变化．
（3）若△ABC中有一内角为45°，不妨设A=45°，则B+C=135°．
y===
==1+．
故当cos（B+C）=1（最大值）时，y有最小值为1+=2-1．
分析：（1）把A=B=C=直接代入要求的式子化简运算求得结果．
（2）利用弦切互化以及积化和差与和差化积公式，化简函数y=，显然，任意交换△ABC中两个角的位置，则y的值不会发生变化．
（3）若△ABC中有一内角为45°，不妨设A=45°，则B+C=135°，化简y 的解析式为 1+，
故当cos（B+C）=1（最大值）时，y有最小值为1+=2-1．
点评：本题考查弦切互化，积化和差与和差化积公式，利用单调性求函数的最值，式子的变形是解题的难点．