Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn=2an+(-1)n(n∈N*)
（1）求数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃；
（2）求证：数列{an+

2

3

(-1)n}为等比数列，并求出{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）对于Sn=2an+(-1)n(n∈N*)，令n=1，n=2，n=3即可得出；
（2）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化简并整理可得an+

2

3

(-1)n=2[an-1+

2

3

(-1)n-1]，利用等比数列的定义即可证明．

解答：解：（1）对于Sn=2an+(-1)n(n∈N*)，令n=1，可得a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1．
令n=2，则a₁+a₂=S₂=2a₂+1，把a₁=1代入解得a₂=0．
令n=3，则a₁+a₂+a₃=S₃=2a₃-1，把a₁=1，a₂=0代入解得a₃=2．
（2）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2an+(-1)n-[2an-1+(-1)n-1]，化为an-2an-1+2(-1)n=0．
∴an+

2

3

(-1)n=2[an-1+

2

3

(-1)n-1]，
∴数列{an+

2

3

(-1)n}是首项为a1+

2

3

×(-1)1=

1

3

，2为公比的等比数列．
∴an+

2

3

(-1)n=

1

3

×2n-1．
∴an=

1

3

×2n-1+

2

3

×(-1)n-1．

点评：本题考查了“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”、等比数列的定义及其通项公式等基础知识与基本方法，属于基础题．