Question

6．求数列$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{{3}^{2}}$，$\frac{7}{{3}^{3}}$，$\frac{15}{{3}^{4}}$，…，$\frac{{2}^{n}-1}{{3}^{n}}$的所有项的和．

Answer 1

分析 利用$\frac{{2}^{n}-1}{{3}^{n}}$=$（\frac{2}{3}）^{n}$-$\frac{1}{{3}^{n}}$可知所求值为以首项、公比均为$\frac{2}{3}$的等比数列的前n项和与以首项、公比均为$\frac{1}{3}$的等比数列的前n项和的差，进而计算可得结论．

解答 解：∵$\frac{{2}^{n}-1}{{3}^{n}}$=$（\frac{2}{3}）^{n}$-$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴所求值为$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$-$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$-2•$（\frac{2}{3}）^{n}$．

点评 本题考查数列的通项，分别利用等差、等比数列的求和公式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．