Question

三棱锥V-ABC中，VA⊥底面ABC，∠ABC=90°

　　(1)求证：V、A、B、C四点在同一个球面上；

　　(2)过球心作一平面与底面内直线AB垂直，求证：此平面截三棱锥所得截面为矩形．

Answer 1

答案：
解析：

证明：四点共球问题关键是找到某一个特殊点，使该点到四个点的距离相等，而该点即为该球的球心． 　　关于截面问题，由于是和大圆相交，可先证四边形为平行四边形，再证一相邻边垂直即可． 　　(1)如图所示，取VC的中点M 　　∵　VA⊥底面ABC，且∠ABC=90° 　　∴　BC⊥VB 　　在Rt△VBC中，M为VC的中点 　　∴　MB=MC=MV 　　同理Rt△VAC中，MA=MC=MV 　　∴　VM=AM=BM=CM 　　∴　V、A、B、C四点在同一球面上 　　(2)取AC、AB、VB的中点分别为N、P、Q，连结NP、PQ、QM、MN，则MNPQ就是垂直于AB的三棱锥V-ABC的截面． 　　易知四边形MNPQ是平行四边形，又VA⊥BC，PQ∥VA，NP∥BC 　　∴　PQ⊥PN，故截面MNPQ是矩形．