Question

10．如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，N为AC中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥AD；
（Ⅱ）在棱PB上是否存在一点Q，使得面MNQ平行面PAD，若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求点D到平面PAM的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先证出线面垂直再证出线线垂直即可；
（Ⅱ）令Q为PB的中点，先证出线面垂直，再证出面面垂直；
（Ⅲ）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，根据V_D-PAC=V_P-ACD，求出点D到平面PAM的距离即可．

解答 解：（Ⅰ）方法一：取AD中点O，连结OP，OC，AC，
依题意可知：
△PAD，△ACD均为正三角形，
所以OC⊥AD，OP⊥AD，
又OC∩OP=O，OC?平面POC，OP?平面POC，
所以AD⊥平面POC，又PC?平面POC，
所以PC⊥AD．
方法二：连结AC、AM，依题意可知△PAC，△PCD均为边长为2正三角形，
又M为PC的中点，所以AM⊥PC，DM⊥PC，
又AM∩DM=M，AM?平面AMD，DM?平面AMD，
所以PC⊥平面AMD，
又AD?平面AMD，所以PC⊥AD；
（Ⅱ）当Q是PB中点时，平面MNQ∥PAD，
证明如下：
∵M、N是AC和PC的中点，∴MN∥AP，
∴MN∥平面PAD，
又∵Q、M是PB、PC的中点，∴QM∥BC∥AD，
∴QM∥平面PAD，
∵QM∩MN=M，
∴平面平面MNQ∥PAD；
（Ⅲ）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，
由（Ⅰ）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，
即PO为三棱锥P-ACD的高．
在RT△POC中，PO=OC=$\sqrt{3}$，PC=$\sqrt{6}$，
在△PAC中，PA=AC=2，PC=$\sqrt{6}$，
边PC上的高AM=$\sqrt{{PA}^{2}{-PM}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
所以△PAC的面积S_△PAC=$\frac{1}{2}$PC•AM=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
设点D到平面PAC的距离为h，
由V_D-PAC=V_P-ACD，S_△ACD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{15}}{2}$•h=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$，
解得：h=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$，所以点D到平面PAM的距离为$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考察了线面、面面垂直的性质即判定，考察线、面的距离，本题是一道中档题．