Question

设向量

a

=（2，sinθ），

b

=(1，cosθ)，θ为锐角．
（1）若

a

∥

b

，求tanθ的值；
（2）若

a

•

b

=

13

6

，求sinθ+cosθ的值．

Answer 1

分析：（1）根据向量平行的坐标表示式，结合题中数据建立关于θ的关系式，用同角三角函数基本关系化简即可得到tanθ=2．
（2）根据向量数量积的公式可得2+sinθcosθ=

13

6

，解出sinθcosθ=

1

6

．结合同角三角函数的平方关系，算出（sinθ+cosθ）²=

4

3

，将两边开方并且注意到θ为锐角，即可得到sinθ+cosθ=

2 3

3

（舍负）．

解答：解：（1）∵

a

=（2，sinθ），

b

=(1，cosθ)，且

a

∥

b

，…（2分）
∴2cosθ-sinθ=0，可得tanθ=2．                      …（5分）
（2）∵

a

•

b

=

13

6

，
∴2+sinθcosθ=

13

6

，化简得sinθcosθ=

1

6

．         …（8分）
因此，（sinθ+cosθ）²=1+2 sinθcosθ=

4

3

．                  …（10分）
又∵θ为锐角，可得sinθ+cosθ是正数
∴sinθ+cosθ=

2 3

3

（舍负）．               …（12分）

点评：本题给出向量含有三角函数的坐标形式，在满足

a

、

b

平行的情况和

a

•

b

=

13

6

的情况下，求tanθ和sinθ+cosθ的值．着重考查了平面向量平行的坐标表示式、向量数量积的坐标公式和同角三角函数关系等知识，属于中档题．