题目内容

对于n∈N*，n≥2，求证：．

答案：
解析：

　　证明：(1)当，左右　　2分

　　(2)假设n＝k时不等式成立，即：　　4分

　　那么，当时，左＝右　　6分

　　即时不等式成立

　　综上所述由(1)(2)对一切，命题成立　　8分


练习册系列答案
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（2012•芜湖二模）已知函数f(x)=
1
2
(x+
1
x
)，x≥0，an+1=f（an），对于任意的n∈N*，都有an+1＜an．
（Ⅰ）求a1的取值范围；
（Ⅱ）若a1=
3
2
，证明an＜1+
1
2n+1
（n∈N+，n≥2）．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下证明
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
-n＜
2
+1．
函数f（x）的定义域为R，数列{an}满足an=f（an-1）（n∈N*且n≥2）．
（Ⅰ）若数列{an}是等差数列，a1≠a2，且f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）（k为非零常数，n∈N*且n≥2），求k的值；
（Ⅱ）若f（x）=kx（k＞1），a1=2，bn=lnan(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，对于给定的正整数m，如果
S(m+1)nSmn
的值与n无关，求k的值．
对于n∈N*（n≥2），定义一个如下数阵：Ann=
a11a12…a1n
a21a22…a2n
…………
an1an2…ann
，其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij=1；当i不能整除j时，aij=0．设t(j)=
n
i=1
aij=a1j+a2j+…+anj．
（Ⅰ）当n=6时，试写出数阵A66并计算
6
j=1
t(j)；
（Ⅱ）若[x]表示不超过x的最大整数，求证：
n
j=1
t(j)=
n
i=1
[ 
n
i
 ]；
（Ⅲ）若f(n)=
1
n
n
j=1
t(j)，g(n)=
∫
n
1
1
x
dx，求证：g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．
（2013•闸北区一模）若数列{bn}满足：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时.
则{cn}是公差为8的准等差数列．
（1）求上述准等差数列{cn}的第8项c8、第9项c9以及前9项的和T9；
（2）设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．求证：{an}为准等差数列，并求其通项公式；
（3）设（2）中的数列{an}的前n项和为Sn，若S63＞2012，求a的取值范围．
（2011•东城区一模）对于n∈N*（n≥2），定义一个如下数阵：Ann=
a11a12…a1n
a21a22…a2n
…………
an1an2…ann

其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij=1；当i不能整除j时，aij=0．
（Ⅰ）当n=4时，试写出数阵A44；
（Ⅱ）设t(j)=
n
i=1
aij=a1j+a2j+…+anj．若[x]表示不超过x的最大整数，
求证：
n
j=1
t(j)=
n
i=1
[ 
n
i
 ]．

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