Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）运用椭圆的离心率公式和点到直线的距离公式，计算即可得到a，b，进而得到椭圆方程；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设$l：x=my+\sqrt{2}$，代入椭圆方程，运用韦达定理和点满足椭圆方程，运用向量共线的坐标表示，化简整理，即可得到m，进而得到直线方程和P的坐标．

解答 解：（I）离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
F（c，0），直线l：y=x-c，
由坐标原点到l的距离为1，
则$\frac{|c|}{{\sqrt{2}}}=1$，解得$c=\sqrt{2}$．
所以$a=2，b=c=\sqrt{2}$，
则椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$；
（II）椭圆C的方程为x²+2y²=4，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意知l的斜率为一定不为0，
故不妨设$l：x=my+\sqrt{2}$，
代入椭圆的方程中整理得$（{m^2}+2）{y^2}+2\sqrt{2}my-2=0$，
显然△＞0．
由韦达定理有：${y_1}+{y_2}=-\frac{{2\sqrt{2}m}}{{{m^2}+2}}$，${y_1}{y_2}=-\frac{2}{{{m^2}+2}}$…．①
假设存在点P，使$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立，
则点P的坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂），
因为点P在椭圆上，即${（{x_1}+{x_2}）^2}+2{（{y_1}+{y_2}）^2}=4$．
整理得$（{x_1}^2+2{y_1}^2）+（{x_2}^2+2{y_2}^2）+2（{x_1}{x_2}+2{y_1}{y_2}）=4$．
又A，B在椭圆上，即${x_1}^2+2{y_1}^2=4，{x_2}^2+2{y_2}^2=4$．
故x₁x₂+2y₁y₂+2=0…②，
将${x_1}{x_2}=（m{y_1}+\sqrt{2}）（m{y_2}+\sqrt{2}）={m^2}{y_1}{y_2}+\sqrt{2}m（{y_1}+{y_2}）+2$及①代入②
解得m²=2，
所以y₁+y₂=±1，x₁+x₂=$-\frac{{2\sqrt{2}{m^2}}}{{{m^2}+2}}+2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
即P（$\sqrt{2}$，±1）．
则当$m=\sqrt{2}$时，$P（\sqrt{2}，-1），l：x=\sqrt{2}y+\sqrt{2}$；
当$m=-\sqrt{2}$时，$P（\sqrt{2}，1），l：x=-\sqrt{2}y+\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，以及直线方程的知识，属于中档题．