Question

已知函数f（x）=x-alnx在x=1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）若?x₁∈[

1

2

，2]，?x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）≥x₂²+b成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出原函数的导函数，利用极值点处的导数等于0求解a的值；
（2）把f（x）的解析式代入方程f（x）+2x=x²+b，然后构造函数g（x）=x²-3x+lnx+b，方程在[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根，说明函数g（x）在[

1

2

，2]上有两个不同的零点，利用导数求出函数g（x）在[

1

2

，2]上的极小值，由极小值小于0，两个端点处的函数值大于等于0列式求解b的取值范围；
（3）把?x₁∈[

1

2

，2]，?x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）≥x₂²+b成立转化为x∈[

1

2

，2]时，f(x)min≥(x2+b)min，利用导数求f（x）在[

1

2

，2]上的最小值，配方求出函数y=x²+b的最小值，列式求得b的取值范围．

解答：解：（1）由数f（x）=x-alnx，所以f′(x)=1-

a

x

，由题意得，f′（1）=0，所以a=1；
（2）由（1）得，f（x）=x-lnx．
f（x）+2x=x²+b⇒x-lnx=x²+b⇒x²-3x+lnx+b=0．
设g（x）=x²-3x+lnx+b，则g′(x)=2x-3+

1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

．
当x∈(0，

1

2

)时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈(

1

2

，1)时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
x∈（1，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
所以g(x)min=g(1)=b-2，g(

1

2

)=b-

5

4

-ln2，g（2）=b-2+ln2．
方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根，则

g( 1 2 )≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

，解得

5

4

+ln2≤b＜2；
（3）?x₁∈[

1

2

，2]，?x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）≥x₂²+b成立，等价于
x∈[

1

2

，2]时，f(x)min≥(x2+b)min．
由f′(x)=

x-1

x

，

1

2

≤x＜1时f′（x）0．
所以f（x）在[

1

2

，1)上位减函数，在（1，2]上为增函数．
所以f（x）_min=f（1）=1．
而y=x²+b在x∈[

1

2

，2]上的最小值为

1

4

+b．
∴

1

4

+b≤1，∴b≤

3

4

．
∴b的取值范围为(-∞，

3

4

]．

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，考查了数学转化思想方法，特别是对于（3）的转化，考查了学生的抽象思维能力，难度较大．