Question

4．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，$AD=2\sqrt{2}$，PA=PD=AB=2，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为（　　）

• A． 2π
• B． 4π
• C． 8π
• D． 12π

Answer 1

分析 设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，设O到平面ABCD的距离为d，则R²=d²+（$\sqrt{3}$）²=1²+（$\sqrt{2}$-d）²，求出R，即可求出四棱锥P-ABCD的外接球的表面积．

解答 解：取AD的中点E，连接PE，
△PAD中，PA=PD=2，$AD=2\sqrt{2}$，∴PA⊥PD，∴PE=$\sqrt{2}$，
设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，
设O到平面ABCD的距离为d，则R²=d²+（$\sqrt{3}$）²=1²+（$\sqrt{2}$-d）²，
∴d=0，R=$\sqrt{3}$，
∴四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为4πR²=12π．
故选：D．

点评 本题考查四棱锥P-ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四棱锥P-ABCD的外接球的半径是关键．