Question

设过点A（p，0）（p＞0）的直线l交抛物线y²=2px（p＞0）于B、C两点，
（1）设直线l的倾斜角为α，写出直线l的参数方程；
（2）设P是BC的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并化为普通方程．

Answer 1

分析：（1）先将l的参数方程写成为

x=p+tcosα y=tsinα

(t为参数)其中α≠0；
（2）将直线的参数方程代入抛物线方程中有：t²sin²α-2ptcosα-2p²=0，设B、C两点对应的参数为t₁，t₂，其中点P的坐标为（x，y），利用参数的几何意义得出：y²=px-p²即为P点轨迹的参数方程．

解答：解：（1）l的参数方程为

x=p+tcosα y=tsinα

(t为参数)其中α≠0
（2）将直线的参数方程代入抛物线方程中有：t²sin²α-2ptcosα-2p²=0
设B、C两点对应的参数为t₁，t₂，其中点P的坐标为（x，y），则点P所对应的参数为

t1+t2

2

，
由

t1+t2= 2pcosα sin2α t1t2= -2p2 sin2α

，当α≠90°时，应有

x=p+ t1+t2 2 cosα=p+ p tan2α y= t1+t2 2 sinα= p tanα

（α为参数）
消去参数得：y²=px-p²
当α=90°时，P与A重合，这时P点的坐标为（p，0），也是方程的解
综上，P点的轨迹方程为y²=px-p²

点评：本题考查求直线的参数方程的方法，把极坐标方程化为普通方程的方法，以及直线方程中参数的意义．