Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，且过点P（1，

3

2

），F为其右焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点A（4，0）的直线l与椭圆相交于M，N两点（点M在A，N两点之间），若△AMF与△MFN的面积相等，试求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，椭圆方程可化为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，又点P（1，

3

2

）在椭圆上，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设l的方程为y=k（x-4），与椭圆方程联立，借助于韦达定理，及△AMF与△MFN的面积相等，即可求得直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，
∴

c

a

=

1

2

，所以a=2c，b=

3

c．…（1分）
设椭圆方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，又点P（1，

3

2

）在椭圆上，所以

1

4c2

+

3

4c2

=1，解得c=1，…（3分）
所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设l的方程为y=k（x-4），…（5分）
由

y=k(x-4) x2 4 + y2 3 =1

，消去y整理，得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，…（6分）
由题意知△=（32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，解得-

1

2

＜k＜

1

2

．…（7分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

32k2

3+4k2

①，x1x2=

64k2-12

3+4k2

②．
因为△AMF与△MFN的面积相等，所以|AM|=|MN|，所以2x₁=x₂+4 ③…（10分）
由①③消去x₂得x1=

3+16k2

3+4k2

 ④
将x₂=2x₁-4代入②得x₁（2x₁-4）=

64k2-12

3+4k2

 ⑤
将④代入⑤

4+16k2

3+4k2

×(2×

4+16k2

3+4k2

-4)=

64k2-12

3+4k2

，
整理化简得36k²=5，解得k=±

5

6

，经检验成立．…（12分）
所以直线l的方程为y=±

5

6

（x-4）．…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是联立方程组，利用韦达定理求解．