Question

已知函数f(x)＝mx²＋(m－3)x＋1的图象与x轴的公共点恰有一个在原点右侧，求m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，图象与x轴的交点为(，0)，这个交点在原点右侧，所以m＝0符合条件． 　　(2)当m≠0时，函数f(x)为二次函数，若函数的图象与x轴的公共点恰有一个在原点右侧，则可能是一个交点在原点右侧，另一个在原点左侧(如图(1))或正好是原点，也可能图象与x轴切于正半轴(如图(2))． 　　①若函数的图象与x轴的一个交点在原点右侧，另一个在原点左侧，则mf(0)＜0，得m＜0． 　　思考： 　　为什么是mf(0)＜0而不是f(0)＜0？ 　　解答：因为mf(0)＜0是：开口向上时，m＞0且f(0)＜0；开口向下时，m＜0且f(0)＞0，这两种情况合并而来的，所以不是f(0)＜0． 　　②图象与x轴切于正半轴 　　则得0＜m≤1． 　　③图象与x轴交于原点，则f(0)＝0，这是不可能的． 　　综上所述，m的取值范围为m≤1． 　　点评：对于(2)m≠0时，可能出现多种情况，不能有遗漏．我们进一步研究函数解析式，发现二次函数图象在y轴上的截距为1，所以只有“两个异号”和“两个正根”这两种情况，这样讨论问题会相对简单一些．