Question

14．双曲线与椭圆4x²+y²=64有相同的焦点，它的一条渐近线为y=x，则双曲线的方程为y²-x²=24．

Answer 1

分析 化椭圆方程为标准方程，求出焦点坐标，再由双曲线渐近线方程得到实半轴和虚半轴相等，结合隐含条件求得a，b的值，则双曲线方程可求．

解答 解：由4x²+y²=64，得$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{64}=1$，
∴焦点坐标为$（0，4\sqrt{3}），（0，4\sqrt{3}）$，
由渐近线方程为y=x，可知$\frac{a}{b}=1$，即b=a，
∴c²=a²+b²=2a²=48．
则a²=b²=24．
∴双曲线的方程为y²-x²=24．
故答案为：y²-x²=24．

点评 本题考查双曲线标准方程的求法，考查了椭圆、双曲线的几何性质，是基础题．