题目内容

在直角坐标系xoy中，点P到两点 $数学公式$ 的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+2与C交于不同的两点A，B．
（1）写出C的方程；
（2）求证： $数学公式$ ．

解：（1）由题意可得，点P是以P $\text{[math]}$ 为焦点的椭圆，且2a=4
∴a=2，c= $\text{[math]}$ ，b²=a²-c²=1
曲线C的方程为 $\text{[math]}$
（2）联立方程 $\text{[math]}$ 可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
由△=4k²-3＞0可得 $\text{[math]}$
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂） $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ =（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
令y= $\text{[math]}$ 则可得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
分析：（1）由题意可得，点P是以P $\text{[math]}$ 为焦点的椭圆，且2a=4，b²=a²-c²=1，从而可求
（2）联立直线与曲线f方程，由△=4k²-3＞0可得 $\text{[math]}$ ，设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），由方程的根与系数关系代入可得 $\text{[math]}$ =（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4= $\text{[math]}$ ，从而可求
点评：本题主要考查了利用椭圆的定义求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交的位置关系的应用，体现的方程的思想在解题中的应用．

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