Question

下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．

（1）若为的中点，求证：面；
（2）证明面.
（3）求该几何体的体积．

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

试题分析：由三视图可知底面是边长为4的正方形，，，∥，且。（1）根据等腰三角形中线即为高线可证得，根据，且为正方形可证得，即可证得，根据线面垂直的判定定理可得。（2）取的中点, 与的交点为，可证得四边形平行四边形，即可证得∥，根据线面平行的定义即可证得面。（3）用分割法求体积，即将此几何体分割成以为顶点的一个四棱锥和一个三棱锥。
试题解析：解：（1）由几何体的三视图可知，底面是边长为4的正方形,
而且,∥，，．
取的中点，如图所示.
∵,∴，
又∵，∴面,
∴．又,
∴面．               5分
（2）如图

取的中点, 与的交点为，
连结、，如图所示.
∴，∥，∴，∥，
∴四边形为平行四边形，
∴∥，又面, ∴∥面，
∴面．              9分
（3）.          13分