Question

【题目】设函数.

（1）讨论在上的单调性；

（2）证明：在上有三个零点.

Answer 1

【答案】（1）的单调递减区间为，；单调递增区间为，.（2）证明见解析

【解析】

（1）利用导数的正负可求函数的单调区间.

（2）结合函数的单调性和零点存在定理可证明在上有3个零点，再构建新函数可证明在上没有零点.

（1），

由及，得或或.

当变化时，和的变化情况如下表：

		0
	－	0	＋	0	－	0	＋
	↘	极小值	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以的单调递减区间为，；

的单调递增区间为，.

（2）当时，由（1）得，

的极小值分别为，；

极大值.又，

所以在上仅有一个零点0；

在，上各有一个零点.

当时，，

令，则，

显然时，单调递增，；

当时，，

从而时，，单调递减，

因此，即，

所以在上没有零点.

当时，，

令，则，

显然时，，；

当时，，

从而时，，单调递增，

因此，即，

所以在上没有零点.

故在上仅有三个零点.