Question

（2006•浦东新区一模）已知函数f（x）=x²+（2-n）x-2n的图象与x轴正半轴的交点为A（a_n，0），n=1，2，3，…．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令bn=3an+λ•2an ( n为正整数），对任意的正整数n，都有b_n+1＞b_n，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意将方程f（x）=0化成一元二次方程，解出此方程的根，由条件正数的那个解即为数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）的结论，得bn=3an+λ•2an=3 n+λ•2 n，通过作差将b_n+1＞b_n变形，得2•3ⁿ＞-λ•2ⁿ，再利用变量分离可得(

3

2

)n＞-

λ

2

，最终可以求出实数λ的取值范围．

解答：解：（1）设f（x）=0，x²+（2-n）x-2n=0
得 x₁=-2，x₂=n．
所以a_n=n（4分）
（2）b_n=3ⁿ+λ•2ⁿ，
b_n+1=3ⁿ⁺¹+λ•2ⁿ⁺¹（6分）
因为b_n+1＞b_n对于任意的正整数n恒成立，
即：3ⁿ⁺¹+λ•2ⁿ⁺¹＞3ⁿ+λ•2ⁿ恒成立  （8分）
2•3ⁿ＞-λ•2ⁿ，
∴(

3

2

)n＞-

λ

2

（12分）
∵(

3

2

)n≥

3

2

，
∴-

λ

2

＜

3

2

∴λ＞-3（14分）

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及数列的单调性等知识点，属于中档题．注意解题时运用数列的函数性质，和利用变量分离的思路处理不等式的技巧．