题目内容
21.设函数f(x)=ax2+b lnx，其中ab≠0.证明：当ab＞0时，函数f(x)没有极值点；当ab＜0时.函数f(x)有且只有一个极值点.并求出极值.
证明：因为f(x)=ax2+b lnx，ab≠0，所以f(x)的定义域为(0，+∞).
f ′ (x)=2ax+
.
当ab＞0时，如果a＞0，b＞0，f ′ (x)＞0，f(x)在(0，+∞)上单调递增；
如果a＜0，b＜0，f ′ (x)＜0，f(x)在(0，+∞)上单调递减.
所以当ab＞0时，函数f(x)没有极值点.
当ab＜0时，
f ′ (x)=
.
令f ′ (x)=0，
得x1=
(0，+∞)(舍去)，x2=
∈(0，+∞)，
当a＞0，b＜0时，f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：
x | (0, |
| ( |
f′(x) | － | 0 | + |
f(x) | ↘ | 极小值 | ↗ |
)
，+∞)从上表可看出.
函数f(x)有且只有一个极小值点，极小值为f(
)=
[1-ln(
)].
当a＜0，b＞0时，f ′ (x)、f(x)随x的变化情况如下表:
x | (0， |
| ( |
f′(x) | + | 0 | － |
f(x) | ↗ | 极大值 | ↘ |
)
，+∞)从上表可看出，
函数f(x)有且只有一个极大值点，极大值为f(
)=
[1-ln(
)].
综上所述，
当ab＞0时，函数f(x)没有极值点；
当ab＜0时，
若a＞0，b＜0时，函数f(x)有且只有一个极小值点，极小值为
[1-ln(
)].
若a＜0，b＞0时，函数f(x)有且只有一个极大值点，极大值为
[1-ln(
)].
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