Question

已知函数.

（1）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，求函数的单调区间；

（3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）函数的单调递减区间是；单调递增区间是；（3）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求导数，再由函数的图象在x=2处的切线的斜率为1，令求解；（2）求出，然后列表求出的单调区间;（3）求出，由函数为上的单调减函数，得出在上恒成立，构造，判断在上为减函数，从而求解。

试题解析：（1）                     1分

由已知，解得.                       3分

（2）函数的定义域为..         

当变化时，的变化情况如下：

	-		+
		极小值

由上表可知，函数的单调递减区间是；单调递增区间是.   6分

（3）由得，         8分

由已知函数为上的单调减函数，

则在上恒成立，即在上恒成立.

即在上恒成立.                      10分

令，在上，

所以在上为减函数. ,所以.         14分

考点：利用导数研究函数的极值；函数的单调区间；函数恒成立问题；简单复合函数的导数．