Question

如图，已知PA⊥边长为2的正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点。

（1）证明：平面DNB⊥平面ABCD；
（2）证明：MN⊥CD；
（3）若直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD。

Answer 1

解：（1）如图，连接AC交BD于O，连接NO， ∵N，O分别为PC，AC的中点， ∴NO∥PA ∵PA⊥平面ABCD， ∴NO⊥平面ABCD，又NO平面DNB， ∴平面DNB⊥平面ABCD。 （2）如图，连接MO，由（1）知NO⊥平面ABCD ∴NO⊥AB， 又易证MO⊥AB，NO∩MO=O， ∴AB⊥平面OMN ∴MN⊥AB，而CD∥AB ∴MN⊥CD。
（3）∵直线P与平面ABCD所成的角为45°，且PA⊥平面ABCD ∴∠PBA= 45°，△PAB为等腰直角三角形， ∴PA=AB=AD=2 连接PM，CM，易证△PAM≌△CBM，得PM=CM， ∵N为PC中点， ∴MN⊥PC 又MN⊥CD，PC∩CD=C ∴MN⊥平面PCD。