Question

设等差数列{a_n}满足：公差d∈N^*，an∈N*，且{a_n}中任意两项之和也是该数列中的一项．若a₁=1，则d=

 

； 若a1=25，则d的所有可能取值之和为

 

．

Answer 1

分析：设a_p，a_q为等差数列{a_n}中的任意两项，依题意a_l=a_p+a_q，从而可得关于d的关系式，依题意即可求得a₁=1时，d的值及a₁=32时，d的所有可能取值之和．

解答：解：设a_p，a_q为等差数列{a_n}中的任意两项，依题意a_l=a_p+a_q，
即2a₁+（p+q-2）d=a₁+（l-1）d，
∴d=

a1

l+1-p-q

；
∴当a₁=1时，d=

1

l+1-p-q

，
∵l，p，q均为正整数，公差d∈N^*，
l+1-p-q=1，
∴d=1；
当a₁=2⁵=32时，
依题意，d=

32

l+1-p-q

∈N^*，
∴d的所有可能取值为1，2，4，8，16，32，
∴1+2+4+8+16+32=63，即d的所有可能取值之和为63．
故答案为：1，63．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式，考查推理与运算能力，属于难题．