Question

已知函数f（x）=x²+|x-a|．
（Ⅰ）试讨论f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若a≥1，且f（x）的最小值为1，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）讨论a的值，从而判定f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）去掉f（x）的绝对值，在a≥1时，讨论f（x）的单调性，求出最小值的表达式，从而求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）①当a=0时，f（x）=x²+|x|，定义域为R，关于原点对称；
且f（-x）=x²+|x|，∴f（-x）=f（x），∴f（x）为偶函数；
②当a≠0时，f（a）=a²，f（-a）=a²+2|a|，
∴f（a）≠f（-a），f（-a）≠-f（a），
∴f（x）为非奇非偶函数．
（Ⅱ）∵f(x)=

x2+x-a， x≥a x2-x+a， x＜a

，
当x≥a时，∵a≥1，∴f(x)=(x+

1

2

)2-a-

1

4

在[a，+∞）上单调递增，
∴当x=a时，f(x)min=a2；
当x＜a时，∴f(x)=(x-

1

2

)2+a-

1

4

，
∵a≥1，
∴当x=

1

2

时，f(x)min=a-

1

4

；
∵a2＞a-

1

4

，又∵f（x）的最小值为1，
∴a-

1

4

=1，即a=

5

4

；
综上得：a=

5

4

．

点评：本题考查了求含有绝对值的二次函数的奇偶性与单调性以及最值问题，解题时应对题中字母系数进行讨论，从而解得问题．