Question

已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，P为C₁上任一点，MN是圆C_2：x²+（y-3）²=1的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为的直线l恰好与圆C₂相切．
（Ⅰ）已知椭圆C₁的离心率；
（Ⅱ）若的最大值为49，求椭圆C₁的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可知直线l的方程为，
因为直线与圆c₂：x²+（y-3）²=1相切，所以，即a²=2c²，
从而；（6分）
（Ⅱ）设P（x，y）、圆C₂的圆心记为C₂，则（c＞0），又=x²+（3-y）²-1=-（y+3）²+2c²+17（-c≤y≤c）．（8分）
j当，解得c=4，此时椭圆方程为；
k当0＜c＜3时，
解得c=5但，故舍去．
综上所述，椭圆的方程为．（14分）
分析：（Ⅰ先得出直线l的方程，再由直线与圆相切得a²=2c²，从而求得离心率；
（II）设P（x，y）由的最大值为49，求得c的值，从而求得椭圆方程．
点评：本题主要考查直线、圆、椭圆的基本性质及位置关系的应用，渗透向量、函数最值等问题，培养学生综合运用知识的能力．