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(08年黄冈中学二模理)如图,已知椭圆的右焦点为F,过F的直线(非x轴)交椭圆于M、N两点,右准线交x轴于点K,左顶点为A.
(1)求证:KF平分∠MKN;
(2)直线AM、AN分别交准线于点P、Q,设直线MN的倾斜角为,试用表示线段PQ的长度|PQ|,并求|PQ|的最小值.
解析:(1)法一:作MM1⊥于M1,
NN1⊥于N1,则,
又由椭圆的第二定义有
∴∴∠KMM1=∠KNN1,即∠MKF=∠NKF,
∴KF平分∠MKN
法二:设直线MN的方程为.
设M、N的坐标分别为, 由
∴
设KM和KN的斜率分别为,显然只需证即可.
∵ ∴
而
即 得证.
(2)由A,M,P三点共线可求出P点的坐标为
由A,N,Q三点共线可求出Q点坐标为,
设直线MN的方程为.由
∴
则:
又直线MN的倾斜角为,则,∴
∴时,
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