题目内容
已知双曲线C：
-y2=1，若直线y=kx+m（k，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M，N，且M，N在以点A（0，-1）为圆心的圆上，则实数m的取值范围是________．
（-
，0）∪（4，+∞）
分析：将直线方程与双曲线方程联立，消去y得（3k2-1）x2+6kmx+3m2+3=0，根据直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点，可得
从而有
，再利用M、N两点都在以A（0，-1）为圆心的同一圆上，所以AB⊥MN，建立关于m的不等关系，从而求出实数m的取值范围．
解答：
解：如图所示，由
?（3k2-1）x2+6kmx+3m2+3=0
设M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点为B（x0，y0），则有
? ①
由中点坐标公式及韦达定理得
因为M、N两点都在以A（0，-1）为圆心的同一圆上，所以AB⊥MN，
即
，
∴3k2=4m+1 ②
由①②得
∴m＞4或
．
故答案为：（-，0）∪（4，+∞）．
点评：本题以双曲线的几何性质为载体，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，有难度．
，0）∪（4，+∞）分析：将直线方程与双曲线方程联立，消去y得（3k2-1）x2+6kmx+3m2+3=0，根据直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点，可得
从而有，再利用M、N两点都在以A（0，-1）为圆心的同一圆上，所以AB⊥MN，建立关于m的不等关系，从而求出实数m的取值范围．解答：
解：如图所示，由?（3k2-1）x2+6kmx+3m2+3=0设M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点为B（x0，y0），则有
? ①由中点坐标公式及韦达定理得
因为M、N两点都在以A（0，-1）为圆心的同一圆上，所以AB⊥MN，
即
，∴3k2=4m+1 ②
由①②得
∴m＞4或
．故答案为：（-
，0）∪（4，+∞）．点评：本题以双曲线的几何性质为载体，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，有难度．
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