Question

已知数列{a_n}的首项a₁=2，?n∈N^*，点（a_n，a_n+1）都在直线x-2y+1=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由点（a_n，a_n+1）都在直线x-2y+1=0上可得a_n-2a_n+1+1=0，可化归为等比数列解决；
（2）利用等差数列和等比数列的求和公式分组求和即可，

解答：（1）解：∵点（a_n，a_n+1）都在直线x-2y+1=0上，
∴a_n-2a_n+1+1=0，
∴a_n-1=2（a_n+1-1），
即an+1-1=

1

2

(an-1)，
∵a₁-1=1≠0，
∴数列{a_n-1}是等比数列；
∴an-1=1×(

1

2

)n-1，
∴an=1+21-n．
（2）Sn=(1+20)+(1+2-1)+(1+2-2)+…+(1+21-n)
=n+（2⁰+2^-1+2^-2+…+2^1-n）
=n+

1-2-n

1-2-1

=n+2-2^1-n．

点评：本题考查由递推式求数列的通项，转化与化归的思想，等比数列的定义，分组求和方法，以及求和公式．属于难题