题目内容

在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．
（1）试用组合数表示这个一般规律；
（2）在数表中试求第n行（含第n行）之前所有数之和；
（3）试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3：4：5，并证明你的结论．
第0行　　　　　　　1
第1行　　　　　　 1　1
第2行　　　　　　1　2　1
第3行　　　　　1　3　3　1
第4行　　　　1　4　6　4　1
第5行　　　1　5　10　10　5　1
第6行　　1　6　15　20　15　6　1．

解：（1）设表中任一不为1的数为 $\text{[math]}$ ，它肩上的两个数分别为 $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ；
（2）杨辉三角中第n行的所有数可以看做是二项展开式 $\text{[math]}$ 的所有二项式系数的和，取x=1可得第n行的所有数字和为2ⁿ，所以数表中第n行（含第n行）之前所有数之和为1+2+2²+…+2ⁿ= $\text{[math]}$ =2ⁿ⁺¹-1；
（3）设 $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，即3n-7r+3=0 ①
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，即4n-9r-5=0 ②
联立①②解得n=62，r=27．
所以在杨辉三角形的某一行能出现三个连续的数 $\text{[math]}$ ，使它们的比是3：4：5．
分析：（1）从杨辉三角形中的数字看出，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和，符合组合数的第二条性质；
（2）杨辉三角中第n行的所有数是二项展开式 $\text{[math]}$ 的所有二项式系数的和，取x=1可得第n行的所有数字和为2ⁿ，然后利用等比数列求和；
（3）假设在杨辉三角形的某一行能出现三个连续的数，使它们的比是3：4：5，由此列两个关于n和r的方程组，能够解出对应的n和r的值，说明假设成立．
点评：本题考查了组合及组合数公式，考查了类比推理，解答此题的关键是明确杨辉三角中的每一行的数都是在n取不同值时的二项展开式的二项式系数，是基础题．