题目内容
在△ABC中，已知
•
=9，sinB=cosA•sinC，S△ABC=6，P为线段AB上的点，且
=x•
+y•
，则xy的最大值为
| AB |
| AC |
| CP |
| ||
|
|
| ||
|
|
3
3
．分析：由条件求得bccosA=9，
bcsinA=6，tanA=
，可得c=5，b=3，a=4，以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）．设
=
，
=
，则
=（x，y），可得x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，利用基本不等式求解最大值．
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| ||
|
|
| e1 |
| ||
|
|
| e2 |
| CP |
解答：解：△ABC中，设AB=c，BC=a，AC=b，∵sinB=cosA•sinC，sin（A+C）=sinCcosnA，
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA．
∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0，C=90°．
∵
•
=9，S△ABC=6，∴bccosA=9，
bcsinA=6，∴tanA=
．
根据直角三角形可得sinA=
，cosA=
，bc=15，∴c=5，b=3，a=4．
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）．
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得
=λ
+（1-λ）
=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）．
设
=
，
=
，则|
|=|
|=1，且
=（1，0），
=（0，1）．
∴
=x•
+y•
=（x，0）+（0，y）=（x，y），可得x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，
12=4x+3y≥2
，解得xy≤3，
故所求的xy最大值为：3．
故答案为 3．
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA．
∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0，C=90°．
∵
| AB |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
根据直角三角形可得sinA=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）．
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得
| CP |
| CA |
| CB |
设
| ||
|
|
| e1 |
| ||
|
|
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
∴
| CP |
| ||
|
|
| ||
|
|
12=4x+3y≥2
| 12xy |
故所求的xy最大值为：3．
故答案为 3．
点评：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的
是一个单位向量，从而可用x，y表示
，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最大值，属于中档题．
| ||
|
|
| CP |
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