题目内容

已知：f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）．
（1）求f（0）；    
（2）判断此函数的奇偶性；     
（3）若f（a）=ln2，求a的值．
分析：（1）根据f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），可得f（0）=ln（1+0）-ln（1-0），从而得出结果．
（2）求出函数的定义域为（-1，1），再由f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-f（x），可知此函数为奇函数．
（3）由f（a）=ln2，可得 ln（1+a）-ln（1-a）=ln
1+a
1-a
=ln2，可得-1＜a＜1且
1+a
1-a
=2，由此求得a的值．
解答：解：（1）因为f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），所以f（0）=ln（1+0）-ln（1-0）=0-0=0．
 （2）由1+x＞0，且1-x＞0，知-1＜x＜1，所以此函数的定义域为：（-1，1）．
又f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-（ln（1+x）-ln（1-x））=-f（x），由上可知此函数为奇函数．
（3）由f（a）=ln2 知 ln（1+a）-ln（1-a）=ln
1+a
1-a
=ln2，可得-1＜a＜1且
1+a
1-a
=2，
解得a=
1
3
，
所以a的值为
1
3
．
点评：本题主要考查对数的对数和分数指数幂的运算性质的应用，函数的奇偶性的判断，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
（2006•海淀区一模）已知函数f（x）=ln（ex+1）-ax（a＞0），
（Ⅰ）若函数y=f（x）的导函数是奇函数，求a的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．
（2011•孝感模拟）已知函数f（x）=ln（x+a）-x2-x．
（I）若函数f（x）在x=0处取得极值，求实数a的值；
（Ⅱ）若x∈[0，1]，函数f（x）在x=0处取得最小值，求正数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式2+
3
4
+
4
9
+…+
n+1
n2
＞ln(n+1)都成立．
（2010•马鞍山模拟）已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax．
（1）设f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（2）当a≤0时，讨论f（x）的单调性；
（3）当a=-1时，证明：(1+
1
22
)(1+
1
42
)(1+
1
82
)…(1+
1
22n
)＜e(n∈N*)．
已知函数f（x）=ln x-
b
x
（b为实数）
（1）若b=-1，求函数f（x）的极值；
（2）若函数M（x）满足M（x）≥N（x）恒成立，则称M（x）是N（x）的一个“上界函数”．
①如果函数f（x）为g（x）=-Inx的一个“上界函数”，求b的取值范围；
②若b=0，函数F（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，求证：当x∈（-2，+∞）时，函数F（x）是函数y=f(
x
2
+1)+
x
2
+1的一个“上界函数”．
已知函数f（x）=|ln（x-1）|，若1＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围为（　　）
A、（3，+∞）
B、（3+2
2
，+∞）
C、（6，+∞）
D、（0，3+2
2
）

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