Question

已知函数f（x）=ln x-

b

x

（b为实数）
（1）若b=-1，求函数f（x）的极值；
（2）若函数M（x）满足M（x）≥N（x）恒成立，则称M（x）是N（x）的一个“上界函数”．
①如果函数f（x）为g（x）=-Inx的一个“上界函数”，求b的取值范围；
②若b=0，函数F（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，求证：当x∈（-2，+∞）时，函数F（x）是函数y=f(

x

2

+1)+

x

2

+1的一个“上界函数”．

Answer 1

分析：（1）求导函数后，令其为零，解出x，再验证是否为极值即可；
（2）①由新定义知，f（x）≥g（x）在其定义域上恒成立，即ln x-

b

x

≥-lnx，亦即2ln x-

b

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，即有（2ln x-

b

x

）_极小值≥0，解出b即可；
②若b=0，则函数f（x）=ln x，由题意知，函数F（x）=e^x，要证明当x∈（-2，+∞）时，函数F（x）是函数y=f(

x

2

+1)+

x

2

+1的一个“上界函数”．只需证ex≥f(

x

2

+1)+

x

2

+1在x∈（-2，+∞）时，恒成立即可．

解答：解：（1）由于b=-1，则函数f（x）=ln x+

1

x

，得到f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

令f′（x）=0，则x=1，
由于当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
故函数f（x）在x=1处取得极小值，且极小值为1；
（2）①由“上界函数”定义知，函数f（x）为g（x）=-lnx的一个“上界函数”?f（x）≥g（x）在其定义域上恒成立，
即ln x-

b

x

≥-lnx，亦即2ln x-

b

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，
令H（x）=2ln x-

b

x

，则H′(x)=

2

x

+

b

x2

=

2x+b

x2

，
当b≥0时，H′（x）＞0，则H（x）=2ln x-

b

x

在（0，+∞）上递增，显然不满足（2ln x-

b

x

）_极小值≥0；
当b＜0时，令H′（x）＞0，得到x＞-

b

2

则H（x）=2ln x-

b

x

在（0，-

b

2

）上递减，在（-

b

2

，+∞）上递增，
故（2ln x-

b

x

）_极小值=2ln（-

b

2

）-

b

- b 2

=2ln（-

b

2

）+2≥0，解得b≤-

2

e

，
故若函数f（x）为g（x）=-lnx的一个“上界函数”，b的取值范围为b≤-

2

e

；
②证明：由于b=0，则f（x）=ln x，又由函数F（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，则函数F（x）=e^x，
当x∈（-2，+∞）时，令G（x）=F（x）-[f(

x

2

+1)+

x

2

+1]=ex-ln(

x

2

+1)-

x

2

-1，则G′(x)=ex-

1

x+2

-

1

2

若令G′（x）=0，解得x=0，故G（x）在（-2，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增，
则[G(x)]最小值=G(0)=e0-ln1-1=0
故当x∈（-2，+∞）时，G（x）≥0恒成立，
即当x∈（-2，+∞）时，函数F（x）是函数y=f(

x

2

+1)+

x

2

+1的一个“上界函数”．

点评：此题考查学生会利用导数研究函数的极值，掌握导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了分类讨论和数形结合的数学思想，是一道中档题．