题目内容
（2010•马鞍山模拟）已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax．
（1）设f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（2）当a≤0时，讨论f（x）的单调性；
（3）当a=-1时，证明：(1+
)(1+
)(1+
)…(1+
)＜e(n∈N*)．
（1）设f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（2）当a≤0时，讨论f（x）的单调性；
（3）当a=-1时，证明：(1+
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分析：（1）先求导函数f′(x)=
+a，根据x=0是f（x）的一个极值点，可得f'（0）=0，从而可求a的值；
（2）先求导函数f′(x)=
+a=
，再对a进行讨论，利用f'（x）＞0得函数的单调递增区间，
f'（x）＜0得函数的单调递减区间；
（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，所以当x∈（0，+∞）时，由f（x）=ln（1+x2）-x＜f（0）=0，可得ln（1+x2）＜x，进而可证得结论．
| 2x |
| 1+x2 |
（2）先求导函数f′(x)=
| 2x |
| 1+x2 |
| ax2+2x+a |
| 1+x2 |
f'（x）＜0得函数的单调递减区间；
（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，所以当x∈（0，+∞）时，由f（x）=ln（1+x2）-x＜f（0）=0，可得ln（1+x2）＜x，进而可证得结论．
解答：解：（1）f′(x)=
+a，
因为x=0是f（x）的一个极值点，所以f'（0）=0，
∴a=0
此时f′(x)=
，可知x＜0，f′（x）＜0；x＞0，f′（x）＞0
∴a=0符合条件…（4分）
（2）因为f′(x)=
+a=
①当a=0时，f′(x)=
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；…（5分）
②当
即当a≤-1时，f'（x）≤0对x∈R恒成立．
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；…（7分）
③当-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0
∴
＜x＜
，
∴f（x）在(
，
)上单调递增，
同理得，f（x）在(-∞，
)和(
，+∞)上单调递减；…（9分）
（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
当x∈（0，+∞）时，由f（x）=ln（1+x2）-x＜f（0）=0⇒ln（1+x2）＜x…（10分）
从而有：ln[(1+
)(1+
)(1+
)…(1+
)]=ln(1+
)+ln(1+
)+…+ln(1+
)＜
+
+
+…+
=
=1-
＜1
∴(1+
)(1+
)(1+
)…(1+
)＜e…（12分）
| 2x |
| 1+x2 |
因为x=0是f（x）的一个极值点，所以f'（0）=0，
∴a=0
此时f′(x)=
| 2x |
| 1+x2 |
∴a=0符合条件…（4分）
（2）因为f′(x)=
| 2x |
| 1+x2 |
| ax2+2x+a |
| 1+x2 |
①当a=0时，f′(x)=
| 2x |
| 1+x2 |
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；…（5分）
②当
|
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；…（7分）
③当-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0
∴
-1+
| ||
| a |
-1-
| ||
| a |
∴f（x）在(
-1+
| ||
| a |
-1-
| ||
| a |
同理得，f（x）在(-∞，
-1+
| ||
| a |
-1-
| ||
| a |
（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
当x∈（0，+∞）时，由f（x）=ln（1+x2）-x＜f（0）=0⇒ln（1+x2）＜x…（10分）
从而有：ln[(1+
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点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数研究极值问题，考查函数的单调性，同时考查分类讨论的数学数学．
练习册系列答案
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