题目内容

证明双曲线上任意一点到两条渐近线的距离乘积是一个常数．

 

答案：
解析：

证明：设双曲线方程为，

它的两条渐近线方程为bx＋ay＝0，bx－ay＝0，

设P（x，y）是双曲线上任意一点，

则点P到两条渐近线的距离之积为

（常数）

 


提示：

在给定的双曲线标准方程中，x、y是变量，a、b是常数．所以只须计算双曲线上任意一点P（x，y）到两条渐近线距离的乘积能用a、b表示（不含x、y）即可．

 


练习册系列答案
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（2007•杨浦区二模）（文）设F1、F2分别为椭圆C：
x2
m2
+
y2
n2
=1（m＞0，n＞0且m≠n）的两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1，
3
2
）到两个焦点的距离之和等于4，求椭圆C的方程．
（2）如果点P是（1）中所得椭圆上的任意一点，且
PF1
•
PF2
=0，求△PF1F2的面积．
（3）若椭圆C具有如下性质：设M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点Q是椭圆上任意一点，且直线QM与直线QN的斜率都存在，分别记为KQM、KQN，那么KQM和KQN之积是与点Q位置无关的定值．试问：双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）是否具有类似的性质？并证明你的结论．通过对上面问题进一步研究，请你概括具有上述性质的二次曲线更为一般的结论，并说明理由．

证明双曲线上任意一点到两条渐近线的距离乘积是一个常数．

 

证明：双曲线上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．
设F1、F2分别是双曲线-=1(a＞0,b＞0)的左、右焦点,点P在双曲线的左支上,点M在双曲线的右准线上,O为坐标原点.

(1)若|OM|=|F2M|,

①求双曲线的渐近线方程;

②证明此双曲线上任意一点到其两条渐近线的距离之积为.

(2)若四边形OMPF1是菱形,Q为双曲线右支上一点,且△F1F2Q的面积为,求|OQ|的最小值.

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