Question

长方体AC₁中，AB=BC=1，AA₁=2，过顶点D₁在空间作直线l，使l与直线AC和BC₁所成的角都等于，这样的直线最多可作 ______条．

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：连接A₁C₁、A₁B，可得∠A₁C₁B（或其补角）就是直线AC和BC₁所成的角．在△A₁C₁B中用余弦定理，算出直线AC和BC₁所成的角为arccos．设△A₁C₁B确定的平面为α，直线A₁C₁是直线m，直线BC₁是直线n，得经过m、n的交点O的直线l在α内的射影在m、n所成角的平分线上时，l与m、n所成的角相等．在此情况下讨论这个所成角的范围，结合直线l的平移，可得满足条件的直线最多可以作出4条．
解答：连接A₁C₁、A₁B，
∵长方体AC₁中，A₁A∥C₁C且A₁A=C₁C
∴四边形AA₁C₁C是平行四边形，得A₁C₁∥AC
∴∠A₁C₁B（或其补角）就是直线AC和BC₁所成的角
△A₁C₁B中，A₁C₁=AC==，同理可得A₁B=BC₁==
∴cos∠A₁C₁B==，
由此可得直线AC和BC₁所成的角为arccos＞=arccos
设△A₁C₁B确定的平面为α，直线A₁C₁是直线m，直线BC₁是直线n，
得m、n所成的锐角为arccos，是大于的角
经过m、n的交点O作直线l，当l在α内的射影在m、n所成角的平分线上时，l与m、n所成的角相等．
∵m、n所成的锐角为arccos＞
∴当l在α内的射影在m、n所成钝角的角平分线上时，l与m、n所成角的范围为（-arccos，]，所成角的最小值大于-arccos，
并且无限接近-arccos，而＞-arccos，
所以此种情况有两个位置满足l与m、n所成角等于；
当l在α内的射影在m、n所成锐角的角平分线上时，l与m、n所成角的范围为（arccos，]，
因为arccos＜，所以直线l也有两个位置满足与m、n所成角都等于．
综上所述，经过m、n的交点O，有4条直线l满足与m、n所成角等于，
再将直线l平移至经过点D₁，可得经过顶点D₁在空间作直线l，
使l与直线AC和BC₁所成的角都等于，这样的直线最多可作4条
故选D
点评：本题在长方体中，讨论经过一个顶点作出与两条面对角线都成60度的直线的条数，着重考查了长方体的性质和异面直线所成角求法与范围等知识，属于中档题．