Question

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx+m（ω＞0）的周期为π，且对?x∈R，都有．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[0，π]存在两个不同的零点x₁、x₂，求参数m的范围，并求这两个零点之和x₁+x₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为函数的周期为π，得ω=2，设f（x）=Asin（2x+φ）+m，根据函数的最大值为4+m得A=4，最后根据=4+m，建立关于φ的方程并解之，整理即得f（x）的解析式；
（2）换元法：令t=2x+，得方程sint=-在区间[，]上有两个不等的实数根．由此可得m∈（-4，-2）∪（-2，4），再结合正弦函数的轴对称的性质，t₁+t₂=π或t₁+t₂=3π，化简整理即得两个零点之和x₁+x₂的值．
解答：解：（1）∵函数的周期T=π，∴=π，得ω=2
因此，设函数的解析式f（x）=Asin（2x+φ）+m
∵函数的最大值为4+m，∴A=4
由题意知，x=时函数有最大值
∴2×+φ=+2kπ，得φ=+2kπ，（k∈Z）
取k=0，得f（x）的解析式为：f（x）=4sin（2x+）+m
（2）∵x∈[0，π]，∴2x+∈[，]
令t=2x+，因为函数f（x）在区间[0，π]存在两个不同的零点x₁、x₂，
∴可得＜-＜1，或-1＜-＜，解之得m∈（-4，-2）∪（-2，4）
当m∈（-4，-2）时，t₁+t₂=π，即（2x₁+）+（2x₂+）=π，解之得x₁+x₂=；
当m∈（-2，4）时，t₁+t₂=3π，即（2x₁+）+（2x₂+）=3π，解之得x₁+x₂=．
综上所述，m的范围是∈（-4，-2）∪（-2，4），两个零点之和x₁+x₂为或．
点评：本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的部分性质，要我们确定其解析式并求函数的零点问题，着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．