题目内容

已知函数 $数学公式$ ，
（I）当a=1时，若函数g（x）在区间（-1，1）上是增函数，求实数c的取值范围；
（II）当 $数学公式$ 时，求证：对任意的x∈[0，1]，g^/（x）≤1的充要条件是 $数学公式$ ；

解：（1）当a=1时， $\text{[math]}$ ，
g'（x）=-x²+x+c∵g（x）在（-1，1）上为单调递增函数，
∴g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立
∴-x²+x+c≥0在（-1，1）上恒成立∴c≥2
（2）设g'（x）=f（x），则
f（x）=-a²（x- $\text{[math]}$ ）²+c+ $\text{[math]}$
∵a $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
当x= $\text{[math]}$ 时，[f（x）]max=f（ $\text{[math]}$ ）=c+ $\text{[math]}$
充分性：∵ $\text{[math]}$
∴x∈[0，1]时，f（x） $\text{[math]}$ ≤1
∴f（x）≤1（x∈[0，1]）
必要性：x∈[0，1]时f（x）≤1而 $\text{[math]}$
∴f（ $\text{[math]}$ ）=c+ $\text{[math]}$ ≤1
∴c $\text{[math]}$
分析：（1）根据g（x）在（-1，1）上为单调递增函数，转化成g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立，将参数c分离出来，研究函数再开区间上值域，即可求出c的范围；
（2）先求出f（x），然后利用配方法求出函数的最大值，再从充分性与必要性两方面进行证明即可．
点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及利用导数研究函数的单调性，属于基础题．