Question

18．设函数f（x）=4cosxsin（x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$，x∈R
（Ⅰ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]，时，求函数 f （x）的值域；
（Ⅱ）已知函数 y=f （x）的图象与直线 y=1有交点，求相邻两个交点间的最短距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），由x∈[0，$\frac{π}{2}$]和三角函数的性质可得值域；
（Ⅱ）由题意可得sin（2x-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，可得2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，解方程可得x的值，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）化简可得f（x）=4cosxsin（x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$
=4cosx（$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）+$\sqrt{3}$
=2sinxcosx-2$\sqrt{3}$cos²x+$\sqrt{3}$
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]，
∴函数 f （x）的值域为[-$\sqrt{3}$，2]；
（Ⅱ）由题意可得2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=1，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，
解得x=kπ+$\frac{π}{4}$或x=kπ+$\frac{7π}{12}$，k∈Z
∴相邻两个交点间的最短距离为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的值域，属中档题．