题目内容

设二次函数f（x）=ax²-4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则 $数学公式$ 的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：由于二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞），所以a＞0，且△=0，从而得到a，c的关系等式，再利用a，c的关系等式解出a，把 $\text{[math]}$ 转化为只含一个变量的代数式利用均值不等式进而求解．
解答：因为二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞），
所以 $\text{[math]}$ ?ac=4?c= $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$
由于a+ $\text{[math]}$ ≥12（当且仅当a=6时取等号）
所以1+ $\text{[math]}$ ≤1+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了基本不等式的应用，以及二次函数的性质，同时考查了计算能力，属于中档题．

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