Question

（08年广东佛山质检文）设有抛物线C：，通过原点O作C的切线，使切点在第一象限.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）过点作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.

Answer 1

解析：（I）设点P的坐标为 (x₁, y₁)，则y₁=kx₁……①，y₁= +x₁ 4 ……②，

①代入②，得：+(k)x₁+4=0                           …………………………2分

因为点P为切点，所以 (k)²16=0，得：k=或k=      …………………………4分

当k=时x₁= 2，y₁= 17；当k=时，x₁= 2，y₁= 1；

因为点P在第一象限，所以所求的斜率k=                …………………………7分

（II）过 P点作切线的垂线，其方程为：y= 2x+5………③，     …………………………9分

代入抛物线方程，得： x²x+9=0，设Q点的坐标为 (x₂, y₂)，则2x₂=9，所以x₂=，y₂= 4，

所以Q点的坐标为 (, 4)，                              …………………………12分

方法二、由题，，不妨设切点为且.

，   则，              …………………………3分

从而切线方程为，由于切线过原点，所以

                                       …………………………5分

即，于是，从而.

下同（II）