Question

【题目】设函数，是常数．

（Ⅰ）若，且曲线的切线经过坐标原点，求该切线的方程；

（Ⅱ）讨论的零点的个数．

Answer 1

【答案】（1）（2）时，无零点；或时，有一个零点；时，有两个零点

【解析】试题分析：（Ⅰ）将代入后对函数求导，求出此时的导数即切线斜率，可得切线方程；　（Ⅱ）函数求导后可得，对按进行讨论，判断单调性，利用单调性求出极值可得零点个数．

试题解析：（Ⅰ），

经过切点的切线方程为

由，得，所求切线为

（Ⅱ），当时，由得

⑴时，若，则；若，则。函数在区间单调递减，在区间单调递增，的最小值为

①时，，无零点

②时，，只有一个零点

③时，，根据与函数的单调性，在区间和各有一个零点，共有两个零点

⑵时，，无零点

⑶时，由得，，由函数图象知，曲线与只有一个交点，所以只有一个零点。

综上所述，时，无零点；或时，有一个零点；时，有两个零点