Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F 为棱AD、AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面CB₁D₁；
（Ⅱ）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接BD．
在正方体AC₁中，对角线BD∥B₁D₁．
又因为E、F为棱AD、AB的中点，
所以EF∥BD．
所以EF∥B₁D₁．（4分）
又B₁D₁?平面CB₁D₁，EF?平面CB₁D₁，
所以EF∥平面CB₁D₁．（7分）
（Ⅱ）因为在长方体AC₁中，
AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
所以AA₁⊥B₁D₁．（10分）
又因为在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，
所以B₁D₁⊥平面CAA₁C₁．（12分）
又因为B₁D₁?平面CB₁D₁，
所以平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．（14分）