Question

（本小题满分14分）
设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）存在p和q，使得；p和q的取值范围分别是，. 

（Ⅰ）由题意，得，解，得. ---------------2分
∴成立的所有n中的最小整数为7，即.-----------4分
（Ⅱ）由题意，得，对于正整数，由，得.       -------------------6分
根据的定义可知：当时，；当时，.
∴

.    ---------------------9分
（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.------10分
∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m都有
，即对任意的正整数m都成立.
当（或）时，得（或），----12分
这与上述结论矛盾！
当，即时，得，解得.
∴ 存在p和q，使得；
p和q的取值范围分别是，.      ----------14分