Question

已知函数f（x）=x³-ax²-x+a，其中a为实数．
（1）求导数f′（x）；
（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，3]上的最大值和最小值；
（3）若f（x）在（-∞，-2]和[3，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）=x³-ax²-x+a，根据导数求解公式，代入即可求出导数f′（x）；
（2）若f′（-1）=0，我们构造关于a的方程，解方程，即可求出参数a的值，进而求出f′（x）的解析式，分别函数的在各区间上的符号，求出区间[-2，3]的最值点，代入即可求出[-2，3]上的最大值和最小值；
（3）由若f（x）在（-∞，-2]和[3，+∞）上都是递增的，结合已知中f′（x）=3x²-2ax-1图象开口向上，且恒过点（0，-1），可转化为f′（-2）≥0，解不等式即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax-1（3分）
（2）f′（-1）=3+2a-1=0∴a=-1∴f（x）=x³+x²-x-1∴f′（x）=3x²+2x-1
由∴f′（x）=0可得x=

1

3

或x=-1
又∵f(

1

3

)=-

32

27

，f(-2)=-3，f(3)=32，f(-1)=0
∴f（x）在[-2，3]上的最小值为-3．（9分）
（3）∵f′（x）=3x²-2ax-1图象开口向上，且恒过点（0，-1）
由条件可得：∴f′（-2）≥0，11+4a≥0即：a≥-

11

4

由f′(3)≥0得a≤

13

3

∴a的取值范围是[-

11

4

，

13

3

]..（14分）

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，简单复合函数的导数及函数的单调性与导数的关系，其中根据函数的单调性与导函数值之间的关系，将问题转化为不等式问题是解答本题的关键．