Question

已知函数f(x)=cos(

π

3

+x)sin(

π

6

+x)，g(x)=sinxcosx-

1

4

（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值以及此时的x的取值集合．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为

1

2

cos2x-

1

4

，由此求得f（x）的最小正周期．
（2）由以上可得，函数h（x）=f（x）-g（x）=

2

2

cos（2x+

π

4

），由此可得当2x+

π

4

=2kπ时，即x=kπ-

π

8

时，k∈z，函数h（x）取得最大值为

2

2

．

解答：解：（1）∵函数 f(x)=cos(

π

3

+x)sin(

π

6

+x)=（

1

2

cosx-

3

2

sinx） （

1

2

cosx+

3

2

sinx）=

1

4

cos²x-

3

4

sin²x=cos²x-

3

4

=

1

2

cos2x-

1

4

，
故f（x）的最小正周期为

2π

2

=π．
（2）由以上可得，函数h（x）=f（x）-g（x）=

1

2

cos2x-

1

4

-（sinxcosx-

1

4

）=

2

2

cos（2x+

π

4

），
故当2x+

π

4

=2kπ时，即x=kπ-

π

8

时，k∈z，函数h（x）取得最大值为

2

2

，
此时，x的取值集合为{ x|x=kπ-

π

8

，k∈z }．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，求余弦函数的最大值，属于中档题．