题目内容
（本小题满分12分）
四面体ABCD中，对棱AD⊥BC，对棱AB⊥CD，试证明：AC⊥BD.
四面体ABCD中，对棱AD⊥BC，对棱AB⊥CD，试证明：AC⊥BD.
略
证法1：作AO⊥平面BCD于O，则BO、CO、DO分别为AB、AC、AD在平面BCD内的射影. ∵CD⊥AB,CD
平面BCD ∴CD⊥BO（三垂线定理的逆定理）
同理BC⊥DO ∴O为△BCD的垂心 从而BD⊥CO
∴BD⊥AC（三垂线定理），即AC⊥BD
证法2：作出向量
、
、
、
、
、
.
∵⊥，⊥
∴·=0，·=0
又=+，=+
∴·=·+·+
+·
=·+ (++)
=·+·=0
∴⊥ ∴AC⊥BD
平面BCD ∴CD⊥BO（三垂线定理的逆定理）同理BC⊥DO ∴O为△BCD的垂心 从而BD⊥CO
∴BD⊥AC（三垂线定理），即AC⊥BD
证法2：作出向量
、、、、、.∵
⊥，⊥∴
·=0，·=0又
=+，=+∴
·=·+·++·=
·+ (++)=
·+·=0∴
⊥ ∴AC⊥BD
练习册系列答案
相关题目
表示平面，
表示直线，给定下列四个命题：
； ②
;
; ④
.
、
和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题 
，则
②若
④若
、
，直线
，则“
”是“直线
”的（ ）
表示直线，
表示平面）：①若
//
，
，则
//
，则
⊥平面
内所有直线”的充要条件是“
”的必要不充分条件是“